Übung Random Walk
Zwei Betrunkene
Zwei Betrunkene starten gemeinsam von einem Laternenpfahl aus einen
random walk
. Bei beiden ist die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach
rechts genauso groß wie für einen Schritt nach links. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich nach
N
Schritten wiedertreffen?
Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass sich beide nach
N
Schritten wiedertreffen:
Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden bei
N
Schritten gerade
n
nach links macht:
P_N\left(n \right) = \frac{N!}{n! (N-n)!} \cdot \left( \frac{1}{2}
\right)^N
Dies muss multizipliert werden mit der Wahrscheinlichkeit, dass der
andere auch gerade
n
Schritte nach links macht (diese Wahrscheinlichkeit ist gleich
groß). Und damit sich beide wiedertreffen, ist es egal, ob sie
dies beispielsweise mit jeweils genau einem Schritt nach links oder
N
Schritten nach links gemeistert haben. Daher muss über alle
möglichen
n
von 0 bis
N
summiert werden:
w (N) = \sum \limits_{n=0}^N P_N\left(n \right) \cdot P_N \left( n
\right) = \sum \limits_{n=0}^N \left( \frac{N!}{n! (N-n)!} \cdot
\left( \frac{1}{2} \right)^N \right)^2