Übung Random Walk

Zwei Betrunkene
Zwei Betrunkene starten gemeinsam von einem Laternenpfahl aus einen random walk . Bei beiden ist die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts genauso groß wie für einen Schritt nach links. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich nach N Schritten wiedertreffen?

Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass sich beide nach N Schritten wiedertreffen:
Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden bei N Schritten gerade n nach links macht: P_N\left(n \right) = \frac{N!}{n! (N-n)!} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^N Dies muss multizipliert werden mit der Wahrscheinlichkeit, dass der andere auch gerade n Schritte nach links macht (diese Wahrscheinlichkeit ist gleich groß). Und damit sich beide wiedertreffen, ist es egal, ob sie dies beispielsweise mit jeweils genau einem Schritt nach links oder N Schritten nach links gemeistert haben. Daher muss über alle möglichen n von 0 bis N summiert werden: w (N) = \sum \limits_{n=0}^N P_N\left(n \right) \cdot P_N \left( n \right) = \sum \limits_{n=0}^N \left( \frac{N!}{n! (N-n)!} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^N \right)^2